问题
问答题
设A为实对称矩阵，则当ε＞0且充分小时，E+εA为正定的，又当r＞0且充分大时，A+rE是正定的，这里的E是单位矩阵．
答案
参考答案：只需证明A+rE及E+εA的特征根全部大于0即可．
(1)显然E+εA为实对称矩阵。设A的特征值为λ1，λ2，…λn，则E+εA的特征根为1+ελ1，1+ελ2，…，1+ελn．
因A为实对称矩阵，故λ1，λ2，…λn为实数．当ε充分小时，可使1+ελ1，1+ελ2，…，1+ελn全部都大于0，故E+εA为正定矩阵．
(2)设A的特征根为λ1，λ2，…λn，则A+rE的特征根为λ1+r，λ2+r，…，λn+r因r＞0，且r充分大时，也可使λ1+r，λ2+r，…，λn+r全部大于0，因而A+rE也为正定矩阵．