问题
问答题
设1≤a＜b，函数f(x)=xln2x，求证：以f(x)满足不等式
(Ⅰ)0＜f"(x)＜2(x＞1)；
(Ⅱ)
答案
参考答案：[分析与证明] (Ⅰ)由f(x)=xln2x求出
[*]
(Ⅱ)方法1° 用泰勒公式．在[*]处展开，有
[*]
分别取被展开点x=a，b，得
[*]
其中[*]
①+②得
[*]
因为[*]
[*]
又因[*]
方法2° 引进辅助函数利用单调性证明不等式．将b改为x，分别考察辅助函数
[*]
与[*]
其中1≤a＜x≤b．
由[*]
[*]
特别有[*]
由于[*]
其中[*]又当1≤a＜x时f"(x)＜2，于是，当1≤a＜x时
[*]
即G(x)单调增加，从而G(x)＞G(a)=0．
特别有G(b)＞0，即
[*]
