问题
解答题
设f(x)=|x|+2|x-a|(a>0).
(1)当a=1时,解不等式f(x)≤8.
(2)若f(x)≥6恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)当a=1时,f(x)=|x|+2|x-1|=2-3x,x<0 2-x,0≤x≤1 3x-2,x>1
当x<0时,由2-3x≤8得,-2≤x<0
当0≤x≤1时,由2-x≤8得,0≤x≤1
当x>1时,由3x-2≤8得,1<x≤10 3
综上所述不等式f(x)≤8的解集为[-2,
]10 3
(2)∵f(x)=|x|+2|x-a|=2a-3x,x<0 2a-x,0≤x≤a 3x-2a,x>a
则f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
∴当x=a时,f(x)取最小值a
若f(x)≥6恒成立,则a≥6
∴实数a的取值范围为[6,+∞).