问题 选择题

设p:f(x)=ex+lnx+2x2+mx+1在(0,+∞)内单调递增,q:m≥-5,则p是q的(  )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

由题意得f′(x)=ex+

1
x
+4x+m,

∵f(x)=ex+lnx+2x2+mx+1在(0,+∞)内单调递增,

∴f′(x)≥0,即ex+

1
x
+4x+m≥0在定义域内恒成立,

由于

1
x
+4x≥4,当且仅当
1
x
=4x,即x=
1
2
时等号成立,故对任意的x∈(0,+∞),必有ex+
1
x
+4x>5

∴m≥-ex-

1
x
-4x不能得出m≥-5

但当m≥-5时,必有ex+

1
x
+4x+m≥0成立,即f′(x)≥0在x∈(0,+∞)上成立

∴p不是q的充分条件,p是q的必要条件,即p是q的必要不充分条件

故选B.

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