从三种情况考虑：

第一种：当x≥5时，原方程就可化简为：x-1+x-5=4，解得：x=5；

第二种：当1＜x＜5时，原方程就可化简为：x-1-x+5=4，恒成立；

第三种：当x≤1时，原方程就可化简为：-x+1-x+5=4，解得：x=1；

所以x的取值范围是：1≤x≤5．

故选A．