解法一：由1≤a＜b＜c知abc=ab+bc+ca＜3bc，

所以a＜3，故a=1或者a=2．

（1）当a=1时，有b+bc+c=bc，

即b+c=0，这与b、c为正整数矛盾．

（2）当a=2时，有2b+bc+2c=2bc，即bc-2b-2c=0，

所以（b-2）（c-2）=4，

又因为2＜b＜c，故0＜b-2＜c-2，

于是b-2=1，c-2=4．即b=3，c=6，

所以，符合条件的正整数仅有一组：a=2，b=3，c=6．

解法二：∵ab+bc+ca=abc，

∴

1

a

+

1

b

+

1

c

=1，

∵a＜b＜c，

∴

1

a

＞

1

b

＞

1

c

，

所以

1

a

＞

1

3

，1＜a＜3，a=2．

∴

1

b

+

1

c

=

1

2

，

所以

1

b

＞

1

4

，2＜b＜4，b=3．

由上得，c=6，

所以，唯一a=2，b=3，c=6．