问题
填空题
已知A、B、C三点在球心为O，半径为3的球面上，且几何体O-ABC为正三棱锥，若A、B两点的球面距离为π，则正三棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为______．
答案
作出图形，
∵A、B两点的球面距离为π，
∴球心角∠AOB=
，π 3
∵OA=OB=3，∴AB=3．
∵几何体O-ABC为正三棱锥，∴几何体O-ABC为正四面体，
设正四面体O-ABC的棱长为2，取AC中点D，连接OD，BD，
∵OA=OC=AC=AB=BC=2，
∴OD⊥AC，BD⊥AC，OD=BD=
，3
∴∠ODB是正三棱锥的侧面与底面所成角，
∴cos∠ODB=
=(
)2+(3
)2-223 2×
×3 3
．1 3
故答案为：
．1 3
