问题
解答题
f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax-2(a＞0且a≠1)，
(Ⅰ)当a=2时，求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若f(x)在区间[0，2]内有三个零点，求a的取值范围。
注：a3-3a2+2=(a-1)(a2-2a-2)
答案
解：(Ⅰ)f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)，
所以函数f(x)在(-∞，1)与(2，+∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减。
(Ⅱ)因为f(0)=-2，f(2)=2，
所以函数f(x)的极值必须都在(0，2)内，且0在两个极值之间，
当0＜a＜1时，3a-3＜0＜-a3+3a2-2无解；
当1＜a＜2时，-a3+3a2-2＜0＜3a-3，解得1＜a＜2；
综上，a的取值范围是(1，2)。