问题
解答题
已知函数f（x）=x3+3bx2+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，且f（x）=0的一个根为-b，
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求证：f（x）=0还有不同于-b的实根x1、x2，且x1、-b、x2成等差数列；
（Ⅲ）若函数f（x）的极大值小于16，求f（1）的取值范围。
答案
解：（Ⅰ）
，
x=0是极大值点，
，
∴c=0；
（Ⅱ）令
，
由f（x）的单调性知
，
∵-b是方程f（x）=0的一个根，
则
，
，
方程
的根的判别式
，
又
，
即-b不是方程
的根，
∴f（x）=0有不同于-b的根
，
，
∴
成等差数列。
（Ⅲ）根据函数的单调性可知，x=0是极大值点，
，
∴
，
令
，
求导
，
，
∴
上单调递减，
∴
，即
。
G
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