已知函数f(x)=(a-
(Ⅰ)若f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,求实数a的取值范围; (Ⅱ)若在区间(0,+∞)上,函数f(x)的图象恒在曲线y=2aex下方,求a的取值范围. |
(Ⅰ)f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,
则f'(x)=(2a-1)e2x+1≥0在区间(-∞,0)上恒成立.
即1-2a≤
,而当x∈(-∞,0)时,1 e2x
>1,故1-2a≤1. 1 e2x
∴a≥0.
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-2aex=(a-
)e2x-2aex+x,定义域为R.1 2
在区间(0,+∞)上,函数f(x)的图象恒在曲线y=2aex下方等价于g(x)<0在区间(0,+∞)上恒成立.
∵g'(x)=(2a-1)e2x-2aex+1=(ex-1)[(2a-1)ex-1],
①若a>
,令g'(x)=0,得极值点x1=0,x2=ln1 2
,1 2a-1
当x2>x1=0,即
<a<1时,在(x2,+∞)上有g'(x)>0,此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;1 2
当x2≤x1=0,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(0,+∞)上,
有g(x)∈(g(0),+∞),也不合题意;
②若a≤
,则有2a-1≤0,此时在区间(0,+∞)上恒有g'(x)<0,从而g(x)在区间(0,+∞)上是减函数;1 2
要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(0)=-a-
≤0⇒a≥-1 2
,1 2
由此求得a的范围是[-
,1 2
]. 1 2
综合①②可知,当a∈[-
,1 2
]时,函数f(x)的图象恒在直线y=2aex下方.1 2