问题 解答题
已知函数f(x)=(a-
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2
)e2x+x
.(a∈R)
(Ⅰ)若f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若在区间(0,+∞)上,函数f(x)的图象恒在曲线y=2aex下方,求a的取值范围.
答案

(Ⅰ)f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,

则f'(x)=(2a-1)e2x+1≥0在区间(-∞,0)上恒成立.                          

1-2a≤

1
e2x
,而当x∈(-∞,0)时,
1
e2x
>1
,故1-2a≤1.                  

∴a≥0.                                                                

(Ⅱ)令g(x)=f(x)-2aex=(a-

1
2
)e2x-2aex+x,定义域为R.

在区间(0,+∞)上,函数f(x)的图象恒在曲线y=2aex下方等价于g(x)<0在区间(0,+∞)上恒成立.

∵g'(x)=(2a-1)e2x-2aex+1=(ex-1)[(2a-1)ex-1],

①若a>

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,令g'(x)=0,得极值点x1=0,x2=ln
1
2a-1

当x2>x1=0,即

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<a<1时,在(x2,+∞)上有g'(x)>0,此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;

当x2≤x1=0,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(0,+∞)上,

有g(x)∈(g(0),+∞),也不合题意;                                          

②若a≤

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,则有2a-1≤0,此时在区间(0,+∞)上恒有g'(x)<0,从而g(x)在区间(0,+∞)上是减函数;

要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(0)=-a-

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≤0⇒a≥-
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2

由此求得a的范围是[-

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].                                            

综合①②可知,当a∈[-

1
2
1
2
]时,函数f(x)的图象恒在直线y=2aex下方.

单项选择题 A1型题
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