（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）²+a，

∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增；

当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．

（II）∵x₁＜x₂＜0，∴f（x）=x²+2x+a，∴f^′（x）=2x+2，

∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f^′（x₁），f^′（x₂），

∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，

∴f′(x1)•f′(x2)=-1，

∴（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．

∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，

∴x2-x1=

1

2

[-(2x1+2)+(2x2+2)]≥

[-(2x1+2)](2x2+2)

=1，当且仅当-（2x₁+2）=2x₂+2=1，即x1=-

3

2

，x2=-

1

2

时等号成立．

∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值为1．

（III）当x₁＜x₂＜0或0＜x₁＜x₂时，∵f′(x1)≠f′(x2)，故不成立，∴x₁＜0＜x₂．

当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁）），处的切线方程为

y-(

x

21

+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1)，即y=(2x1+2)x-

x

21

+a．

当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y-lnx2=

1

x2

(x-x2)，即y=

1

x2

x+lnx2-1．

函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是

1 x2 =2x1+2  ① lnx2-1=- x 21 +a  ②

，

由①及x₁＜0＜x₂可得-1＜x₁＜0，

由①②得a=

x

21

+ln

1

2x1+2

-1=

x

21

-ln(2x1+2)-1．

∵函数y=

x

21

-1，y=-ln（2x₁+2）在区间（-1，0）上单调递减，

∴a（x₁）=

x

21

-ln(2x1+2)-1在（-1，0）上单调递减，且x₁→-1时，ln（2x₁+2）→-∞，即-ln（2x₁+2）→+∞，也即a（x₁）→+∞．

x₁→0，a（x₁）→-1-ln2．

∴a的取值范围是（-1-ln2，+∞）．