问题
解答题
设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=
（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数． （i）判断f（1），f（
（ii）a、b的几何平均数记为G．称
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答案
（Ⅰ）函数的定义域为{x|x≠-1}，f′(x)=a-b (x+1)2
∴当a＞b＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜b时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）（i）计算得f（1）=
，f（a+b 2
）=b a
，f（ab
）=b a
．2ab a+b
∵(
)2=ab
×a+b 2 2ab a+b
∴f（1），f（
），f（b a
）成等比数列，b a
∵a＞0，b＞0，∴
≤2ab a+b ab
∴f（
）≤f（b a
）；b a
（ii）由（i）知f（
）=b a
，f（1）=2ab a+b
．a+b 2
故由H≤f（x）≤G，得f（
）≤f（x）≤f（1）．b a
当a＞b＞0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．这时
≤x≤1，即x的取值范围为b a
≤x≤1；b a
当0＜a＜b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴x的取值范围为1≤x≤
．b a
