问题
解答题
设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=
（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数． （i）判断f（1），f（
（ii）a、b的几何平均数记为G．称
|
答案
（Ⅰ）函数的定义域为{x|x≠-1}，f′(x)=
| a-b |
| (x+1)2 |
∴当a＞b＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜b时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）（i）计算得f（1）=
| a+b |
| 2 |
|
| ab |
| b |
| a |
| 2ab |
| a+b |
∵(
| ab |
| a+b |
| 2 |
| 2ab |
| a+b |
∴f（1），f（
|
| b |
| a |
∵a＞0，b＞0，∴
| 2ab |
| a+b |
| ab |
∴f（
| b |
| a |
|
（ii）由（i）知f（
| b |
| a |
| 2ab |
| a+b |
| a+b |
| 2 |
故由H≤f（x）≤G，得f（
| b |
| a |
当a＞b＞0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．这时
| b |
| a |
| b |
| a |
当0＜a＜b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴x的取值范围为1≤x≤
| b |
| a |