问题
解答题
已知函数 f(x)=alnx-(a+1)x+
(Ⅰ)若直线l与曲线y=f(x)相切,切点是P(2,0),求直线l的方程; (Ⅱ)讨论f(x)的单调性. |
答案
(I)因为切点是P(2,0),
∴f(2)=aln2-2(a+1)+
×22=0,∴a=0,1 2
∴函数f(x)=
x2-x,又f′(x)=x-1,1 2
所以切线的斜率为:f′(2)=1.
所以切线l的方程为y=x-2.
函数 f(x)=alnx-(a+1)x+
x2(a≥0).1 2
(II)由题意得,f′(x)=
-(1+a)+x=a x
(x>0)(x-1)(x-a) x
由f′(x)=0,得x1=1,x2=a
①当0<a<1时,令f′(x)>0,x>0,可得0<x<a或x>1;
令f′(x)<0,x>0,可得a<x<1,
∴函数f(x)的单调增区间是(0,a)和(1,+∞),单调减区间是(a,1);
②当a=1时,f′(x)=
≥0,当且仅当x=1时,f′(x)=0,(x-1)2 x
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数;
③当a>1时,令f′(x)>0,x>0,可得0<x<1或x>a;
令f′(x)<0,x>0,可得1<x<a
∴函数f(x)的单调增区间是(0,1)和(a,+∞),单调减区间是(1,a).