f′（x）=x²+2ax+2a-1

（1）∵f'（-3）=0，∴9-6a+2a-1=0，

解得：a=2；

（2）f'（x）=（x+1）（x+2a-1），

∵a＞1，由f'（x）=（x+1）（x+2a-1）＞0

得x＜1-2a或x＞-1，所以f（x）的单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞）；

由f'（x）=（x+1）（x+2a-1）＜0得1-2a＜x＜-1，

所以f（x）的单调减区间为（1-2a，-1）；

且x=1-2a是极大值点，x=-1是极小值点；

（3）∵g（x）=f'（x）是偶函数，

∴a=0

∴f(x)=

1

3

x3 -x，设曲线线 过点A(1，m)(m≠-

2

3

)的切线相切于点P（x₀，

1

3

x03-x0 ），

则切线的斜率 k=x₀²-1，

∴切线方程为y-（

1

3

x03-x0）═（x₀²-1）（x-x₀），

∵点A（1，m）在切线上，

∴m-（

1

3

x03-x0）=（x₀²-1）（1-x₀），

解得m=-

2

3

x03+x02-1

令h（x）=-

2

3

x 3+x 2-1，

则h′（x）=-2x²+2x=2x（1-x）=0，解得x=0，x=1当x=0时，

h（x）去极小值-1，当x=1时，h（x）去极大值-

2

3

，

∴实数m的取值范围是-1＜m＜-

2

3

．