问题
解答题
已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a≥0）．
（1）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．
答案
（1）函数定义域为（0，+∞），f′(x)=-2a2x2+ax+1 x
因为x=1是函数y=f（x）的极值点，所以f′（1）=1+a-2a2=0，解得a=-
或a=1，1 2
因为a＞0，所以a=1；
（2）若a=0，f′(x)=
＞0，1 x
∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
若a≠0，则a＞0，f′(x)=
=-2a2x2+ax+1 x (2ax-1)(-ax-1) x
由f′（x）＞0，结合函数的定义域，可得0＜x＜
；由f′（x）＜0，结合函数的定义域，可得x＞1 a
；1 a
∴函数的单调增区间为（0，
）；单调减区间为（1 a
，+∞）．1 a