（1）f′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

(ax+a-1)(x-1)

x2

．（2分）

①当

1-a

a

＞1时，即0＜a＜

1

2

时，此时f（x）的单调性如下：

x	（0，1）	1	（1， 1-a a ）	1-a a	（ 1-a a ，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	增		减		增

（4分）

②当a=0时，f′(x)=

1-x

x2

，当0＜x＜1时f（x）递增；

当x＞1时，f（x）递减；（5分）

③当a＜0时，

1-a

a

＜0，当0＜x＜1时f（x）递增；

当x＞1时，f（x）递减；（6分）

综上，当a≤0时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；

当0＜a＜

1

2

时，f（x）在（0，1），（

1-a

a

，+∞）上是增函数，

在（1，

1-a

a

）上是减函数．（7分）

（2）由（1）知，当a=

1

3

时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数．

于是x₁∈（0，2）时，f(x1)∈(-∞，

2

3

]．（8分）

从而存在x₂∈[1，2]，

使g（x₂）=

x

22

-2bx2+4≤[-f(x1)]min=-

2

3

⇔[g(x)]min≤-

2

3

，x∈[1，2]（10分）

考察g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]的最小值．

①当b≤1时，g（x）在[1，2]上递增，[g（x）]_min=g(1)=5-2b≤-

2

3

，b≥

17

6

（舍去）..（11分）

②当b≥2时，，g（x）在[1，2]上递减，[g(x)]min=g(2)=8-4b≤-

2

3

，b≥

13

6

∴b≥

13

6

..（12分）

③当1＜b＜2时，g(x)min=g(b)=4-b2≤-

2

3

，无解．（13分）

综上b≥

13

6

（14分）