问题
解答题
| 已知函数f（x）=（x+1）lnx． （1）求f（x）在x=1处的切线方程； （2）设g(x)=
|
答案
（本小题满分12分）
（1）函数f（x）=（x+1）lnx定义域为（0，+∞），…（1分）
∵f′(x)=lnx+
，1+x x
∴f′（1）=2，且切点为（1，0）…（4分）
故f（x）在x=1处的切线方程y=2x-2．…-（6分）
（2）由已知a≠0，因为x∈（0，1），
所以
•lnx＜0．1+x 1-x
①当a＜0时，g（x）＞0，不合题意．…（8分）
②当a＞0时，x∈（0，1），
由g（x）＜-2，得lnx+
＜0．2a(1-x) 1+x
设h(x)=lnx+
，2a(1-x) 1+x
则x∈（0，1），h（x）＜0.h′(x)=
．x2+(2-4a)x+1 x(1+x)2
设m（x）=x2+（2-4a）x+1，
方程m（x）=0的判别式△=16a（a-1）．
若a∈（0，1]，△≤0，m（x）≥0，h′（x）≥0，
h（x）在（0，1）上是增函数，又h（1）=0，
所以x∈（0，1），h（x）＜0．…（10分）
若a∈（1，+∞），△＞0，m（0）=1＞0，m（1）=4（1-a）＜0，
所以存在x0∈（0，1），使得m（x0）=0，
对任意x∈（x0，1），m（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x0，1）上是减函数，
又h（1）=0，所以x∈（x0，1），h（x）＞0．
综上，实数a的取值范围是（0，1]．…（12分）