问题
解答题
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），函数f（x）的图象在x=4处的切线的斜率为
（1）求a值及函数f（x）的单调区间； （2）若函数g（x）=
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答案
（1）f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
f'（x）=
…（2分）a(1-x) x
由 f'（4）=-
=3a 4
得a=-2 …（4分）3 2
所以f'（x）=
（x＞0）2x-2 x
由f'（x）＞0，得x＞1；f'（x）＜0，得0＜x＜1
所以f（x）的单增区间为（1，+∞），单减区间为（0，1]…（6分）
当a=-2时，若x∈（1，+∞），则f′（x）＞0；若x∈（0，1），则f′（x）＜0，
∴当a=-2时，f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（0，1]；
（2）g（x）=
x3+(1 3
+2)x2-2x …（7分）m 2
g'（x）=x2+（m+4）x-2 …（8分）
因为g（x）在（1，3）不单调，且g'（0）=-2 …（9分）
所以
…（11分）g′(1)＜0 g′(3)＞0
即
…（12分）m＜-3 m＞- 19 3
所以m∈（-
，-3）．19 3
