(I)f′(x)=(x>0)
令f′(x)>0⇒ax2-2x+1>0
①若a=0,则0<x<,f(x)的递增区间是(0,);
②若a<0,则△=4-4a>0
方程ax2-2x+1=0的两根x1=<0,x2=>0,
当0<x<时,>0
∴f(x)的递增区间是(0,]
③若a>0且△=4-4a>0,即0<a<1时,
方程ax2-2x+1=0的两根x1=>0,x2=>0,
此时f(x)的递增区间为(0,]和[,+∞)
④若a>0且△=4-4a≤0即a≥1时f'(x)≥0
此时的递增区间为(0,+∞).
(II)问题等价于方程f(x)=0在[,e]上有实根,
而f(x)=0⇔a=+,x∈[,e]
令g(x)=+,x∈[,e]g′(x)=(x-xlnx-1)
再令ϕ(x)=x-xlnx-1,则ϕ'(x)=-lnx
当0<x<1时,ϕ'(x)>0,ϕ(x)↗,当x>1时,ϕ'(x)<0,ϕ(x)↘
∴当x=1时,ϕ(x)取得唯一的极大值也是ϕ(x)的最大值(ϕ(x))max=ϕ(1)=0
∴当x∈(0,+∞)时,g'(x)≤0∴g(x)在(0,+∞)上单调递减
∴当x∈[,e]时,g(x)∈[+,e2-2e]
故当a∈[+,e2-2e]时,函数f(x)在[,e]上有零点.