问题 解答题
已知函数f(x)=ax-
1
x
-2lnx

(I)求f(x)的单调递增 区间;
(II)a为何值时,函数f(x)在区间[
1
e
,e]
上有零点.
答案

(I)f′(x)=

ax2-2x+1
x2
(x>0)

令f′(x)>0⇒ax2-2x+1>0

①若a=0,则0<x<

1
2
,f(x)的递增区间是(0,
1
2
)

②若a<0,则△=4-4a>0

方程ax2-2x+1=0的两根x1=

1+
1-a
a
<0,x2=
1-
1-a
a
>0

0<x<

1-
1-a
a
时,>0

∴f(x)的递增区间是(0,

1-
1-a
a
]

③若a>0且△=4-4a>0,即0<a<1时,

方程ax2-2x+1=0的两根x1=

1-
1-a
a
>0,x2=
1+
1-a
a
>0

此时f(x)的递增区间为(0,

1-
1-a
a
]和[
1+
1-a
a
,+∞)

④若a>0且△=4-4a≤0即a≥1时f'(x)≥0

此时的递增区间为(0,+∞).

(II)问题等价于方程f(x)=0在[

1
e
,e]上有实根,

而f(x)=0⇔a=

1
x2
+
2lnx
x
x∈[
1
e
,e]

g(x)=

1
x2
+
2lnx
x
x∈[
1
e
,e]
g′(x)=
2
x3
(x-xlnx-1)

再令ϕ(x)=x-xlnx-1,则ϕ'(x)=-lnx

当0<x<1时,ϕ'(x)>0,ϕ(x)↗,当x>1时,ϕ'(x)<0,ϕ(x)↘

∴当x=1时,ϕ(x)取得唯一的极大值也是ϕ(x)的最大值(ϕ(x))max=ϕ(1)=0

∴当x∈(0,+∞)时,g'(x)≤0∴g(x)在(0,+∞)上单调递减

∴当x∈[

1
e
,e]时,g(x)∈[
1
e2
+
2
e
e2-2e]

故当a∈[

1
e2
+
2
e
e2-2e]时,函数f(x)在[
1
e
,e]
上有零点.

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