问题
解答题
设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x3．
（Ⅰ） 若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ） 是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
答案
因为当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x3．
所以当x∈（0，1]时，f（x）=f（-x）=2ax-4x3，
∴f(x)=-2ax+4x3，-1≤x≤0 2ax-4x3，0＜x≤1.
（Ⅰ）由题设f（x）在（0，1]上为增函数，∴f'（x）≥0在x∈（0，1]恒成立，
即2a-12x2≥0对x∈（0，1]恒成立，于是，a≥6x2，从而a≥（6x2）max=6．
即a的取值范围是[6，+∞）
（Ⅱ）因f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x3在x∈（0，1]的最大值．
令f'（x）=2a-12x2=0，得x=
．…（8分）a 6
若
∈（0，1]，即0＜a≤6，则[f(x)]max=f(a 6
)=2a× a 6
-4( a 6
)3＜2a× a 6
≤12， a 6
故此时不存在符合题意的a；
若
＞1，即a＞6，则f（x）在（0，1]上为增函数，于是[f（x）]max=f（1）=2a-4．a 6
令2a-4=12，故a=8．综上，存在a=8满足题设．…（12分）