（1）f（x）=a x ²+2 b x-2lnx，得f′(x)=2ax+2b-

2

x

，

因为f（x）在x=1处取得极值，所以f'（1）=0，

故2a+2b-2=0，即b=1-a；

（2）因为函数f（x）在x∈（0，

1

2

]上不是单调函数，所以f'（x）=0在（0，

1

2

]内有解，

即ax²+bx-1=0，亦即ax²+（1-a）x-1=0在（0，

1

2

]内有解，

由ax²+（1-a）x-1=0得：x=1，或x=-

1

a

，

所以0＜-

1

a

＜

1

2

，解得：a＜-2；

（3）因为k=f′(x)=2ax+2b-

2

x

=2(ax-

1

x

+1-a)，

①当-4≤a＜0或a＞0时，k′=2(a+

1

x2

)，

因为x∈(0，

1

2

]，所以k'≥0恒成立，

所以k在x∈(0，

1

2

]上单调递增，所以x=

1

2

时，k_max=-a-2；

②当a＜-4时，有0＜

- 1 a

＜

1

2

，所以-ax+

1

x

≥2

-a

，

所以ax-

1

x

≤-2

-a

，此时“=”成立的条件是：x=

- 1 a

，

所以k=2(ax-

1

x

+1-a)≤2(1-a-2

-a

)=2-2a-4

-a

，

综合得：kmax=

-a-2，(-4≤a＜0或a＞0) 2-2a-4 -a ，(a＜-4)