问题
解答题
设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）．
（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），求F（x）=f（x）-g（x）的极小值；
（2）在（1）的结论下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m成立？若存在，求出k和m，若不存在，说明理由．
答案
（1）f′(x)=2x，g′(x)=
+b，代入可得：a=1，b=1a x
∴F（x）=x2-lnx-x，
∴F′(x)=2x-
-1=1 x
=2x2-x-1 x (x-1)(2x+1) x
∵当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，
∴F（x）在（0，1）递减，（1，+∞）递增，
∴F（x）的极小值为F（1）=0
（2）由（1）得，（1，1）是f（x）和g（x）的公共点，
f（x）在点（1，1）处的切线方程是y=2x-1
∴若存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m成立
即f（x）≥2x-1和g（x）≤2x-1同时成立
∵f（x）-2x+1=x2-2x+1=（x-1）2≥0，
∴f（x）≥2x-1
令h（x）=g（x）-2x+1，h′(x)=
-1=1 x
，1-x x
∴h（x） 在（0，1）递增，（1，+∞）递减，
∴h（x）max=h（1）=0，
∴h（x）≤0，即g（x）≤2x-1成立
∴存在k=2，m=-1使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m成立
