已知函数f（x）=x|x-a|-lnx．
（1）若a=1，求函数f（x）在区间[1，e]的最大值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
（1）若a=1，则f（x）=x|x-1|-lnx．
当x∈[1，e]时，f（x）=x2-x-lnx，
f′(x)=2x-1-
=1 x
＞0，2x2-x-1 x
所以f（x）在[1，e]上单调增，
∴f(x)max=f(e)=e2-e-1．
（2）由于f（x）=x|x-a|-lnx，x∈（0，+∞）．
（ⅰ）当a≤0时，则f（x）=x2-ax-lnx，
f′(x)=2x-a-
=1 x
，2x2-ax-1 x
令f′（x）=0，得x0=
＞0（负根舍去），a+ a2+8 4
且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在(0，
)上单调递减，在(a+ a2+8 4
，+∞)上单调递增．a+ a2+8 4
（ⅱ）当a＞0时，
①当x≥a时，f′(x)=2x-a-
=1 x
，2x2-ax-1 x
令f′（x）=0，得x1=
（x=a+ a2+8 4
＜a舍），a- a2+8 4
若
≤a，即a≥1，则f′（x）≥0，a+ a2+8 4
所以f（x）在（a，+∞）上单调增；
若
＞a，即0＜a＜1，则当x∈（0，x1）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0，a+ a2+8 4
所以f（x）在区间(0，
)上是单调减，在(a+ a2+8 4
，+∞)上单调增．a+ a2+8 4
②当0＜x＜a时，f′(x)=-2x+a-
=1 x
，-2x2+ax-1 x
令f′（x）=0，得-2x2+ax-1=0，记△=a2-8，
若△=a2-8≤0，即0＜a≤2
，则f′（x）≤0，2
故f（x）在（0，a）上单调减；
若△=a2-8＞0，即a＞2
，2
则由f′（x）=0得x3=
，x4=a- a2-8 4
，且0＜x3＜x4＜a，a+ a2-8 4
当x∈（0，x3）时，f′（x）＜0；当x∈（x3，x4）时，f′（x）＞0；当x∈（x4，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间(0，
)上是单调减，在(a- a2-8 4
，a- a2-8 4
)上单调增；在(a+ a2-8 4
，+∞)上单调减．a+ a2-8 4
综上所述，当a＜1时，f（x）的单调递减区间是(0，
)，单调递增区间是(a+ a2+8 4
，+∞)；a+ a2+8 4
当1≤a≤2
时，f（x）单调递减区间是（0，a），单调的递增区间是（a，+∞）；2
当a＞2
时，f（x）单调递减区间是（0，2
）和(a- a2-8 4
，a)，单调的递增区间是(a+ a2-8 4
，a- a2-8 4
)和（a，+∞）．a+ a2-8 4
（3）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞）．
由f（x）＞0，得|x-a|＞
．*lnx x
（ⅰ）当x∈（0，1）时，|x-a|≥0，
＜0，不等式*恒成立，所以a∈R；lnx x
（ⅱ）当x=1时，|1-a|≥0，
=0，所以a≠1； lnx x
（ⅲ）当x＞1时，不等式*恒成立等价于a＜x-
恒成立或a＞x+lnx x
恒成立．lnx x
令h(x)=x-
，则h′(x)=lnx x
．x2-1+lnx x2
因为x＞1，所以h'（x）＞0，从而h（x）＞1．
因为a＜x-
恒成立等价于a＜（h（x））min，所以a≤1．lnx x
令g(x)=x+
，则g′(x)=lnx x
．x2+1-lnx x2
再令e（x）=x2+1-lnx，则e′(x)=2x-
＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，e（x）在x∈（1，+∞）上无最大值．1 x
综上所述，满足条件的a的取值范围是（-∞，1）．