已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（1）讨论函数f（x）的单调性；

问题解答题

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设g(x)=-x2+2bx+3．当a=-

时，若对任意x1∈(0，+∞)，存在x2∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），求实数b取值范围．

答案

（1）∵函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，

∴f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

a+1

+2ax=

2ax2+a+1

，

当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当a≤-1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；

当-1＜a＜0时，由f′（x）=0，得x2=-

a+1

，

∵x＞0，∴x=

a+1

，

当x∈（0，

a+1

）时，f′（x）＞0，

当x∈（

a+1

，+∞）时，f′（x）＜0，

函数f（x）在（0，

a+1

）上单调递增；在（

a+1

，+∞）上单调递减．

（2）当a=-

时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=

，

欲使符合条件的f（x₁）≤g（x₂）成立，

只需存在g（x）_max≥f（x）_max=

即可，

∴存在x∈[1，2]使得不等式-x²+2bx+3≥

成立，

则由2bx≥x2-

，得到2b≥x-

，

∵x-

在[1，2]上有最小值-

，

因此2b≥-

，故b≥-

．