问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2-x+c，且a=f′(
（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅲ）设函数g（x）=（f（x）-x3）•ex，若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递增，求实数c的取值范围． |
答案
（Ⅰ）由f（x）=x3+ax2-x+c，得f'（x）=3x2+2ax-1．
当x=
时，得a=f ′(2 3
)=3×(2 3
)2+2f ′(2 3
)×(2 3
)-1，2 3
解之，得a=-1．…（4分）
（Ⅱ）因为f（x）=x3-x2-x+c．
从而f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+
)(x-1)，1 3
由f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+
)(x-1)=0，得x1=-1 3
，x2=1，1 3
列表如下：
| x | (-∞，-
| -
| (-
| 1 | （1，+∞） | ||||||
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | ↗ | 有极大值 | ↘ | 有极小值 | ↗ |
| 1 |
| 3 |
f（x）的单调递减区间是(-
， 1)．…（9分）1 3
（Ⅲ）函数g（x）=（f（x）-x3）•ex=（-x2-x+c）•ex，
有g'（x）=（-2x-1）ex+（-x2-x+c）ex=（-x2-3x+c-1）ex，
因为函数在区间x∈[-3，2]上单调递增，
等价于h（x）=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，
只要h（2）≥0，解得c≥11，
所以c的取值范围是c≥11．…（14分）