问题
解答题
| 已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）． （1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数； （2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围； （3）当x＞y＞e-1时，求证：ex-y＞
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答案
（Ⅰ）f′(x)=a-
=1 x
，ax-1 x
当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
函数f（x）在（0，+∞）单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点；
当a＞0时，f'（x）＜0得0＜x＜
，f'（x）＞0得x＞1 a
，1 a
∴f（x）在(0，
)上递减，在(1 a
，+∞)上递增，1 a
即f（x）在x=
处有极小值．1 a
∴当a≤0时f（x）在（0，+∞）上没有极值点，
当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．（4分）
（注：分类讨论少一个扣一分．）
（Ⅱ）∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴a=1，…（5分）
∴f(x)≥bx-2⇔1+
-1 x
≥b，…（6分）lnx x
令g(x)=1+
-1 x
，可得g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增，…（8分）lnx x
∴g(x)min=g(e2)=1-
，即b≤1-1 e2
．（9分）1 e2
（Ⅲ）证明：ex-y＞
⇔ln(x+1) ln(y+1)
＞ex ln(x+1)
，（10分）ey ln(y+1)
令g(x)=
，ex ln(x+1)
则只要证明g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，
又∵g′(x)=
，ex[ln(x+1)-
]1 x+1 ln2(x+1)
显然函数h(x)=ln(x+1)-
在（e-1，+∞）上单调递增．（12分）1 x+1
∴h(x)＞1-
＞0，即g'（x）＞0，1 e
∴g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，
即
＞ex ln(x+1)
，ey ln(y+1)
∴当x＞y＞e-1时，有ex-y＞
．（14分）ln(x+1) ln(y+1)