问题
解答题
已知函数f（x）=（x-a）2（x-b）（a，b∈R，a＜b）．
（I）当a=1，b=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（x））处的切线方程；
（II）设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2．
证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后的等差数列，并求x4．
答案
（Ⅰ）当a=1，b=2时，
因为f′（x）=（x-1）（3x-5）
故f′（2）=1
f（2）=0，
所以f（x）在点（2，0）处的切线方程为y=x-2；
（Ⅱ）证明：因为f′（x）=3（x-a）（x-
），a+2b 3
由于a＜b．
故a＜
．a+2b 3
所以f（x）的两个极值点为x=a，x=
．不妨设x1=a，x2=a+2b 3
，a+2b 3
因为x3≠x1，x3≠x2，
且x3是f（x）的零点，故x3=b．
又因为
-a=2（b-a+2b 3
），a+2b 3
x4=
（a+1 2
）=a+2b 3
，2a+b 3
所以a，
，2a+b 3
，b依次成等差数列，a+2b 3
所以存在实数x4满足题意，且x4=
．2a+b 3