问题 选择题
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=
π
2
,AB=AC=AA1=1
,D和E分别为棱AC、AB上的动点(不包括端点),若C1E⊥B1D,则线段DE长度的取值范围为(  )
A.[
2
2
3
2
]
B.[
3
3
,1)
C.[
2
2
,1)
D.[
2
3
2
2
]
答案

∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,

∠BAC=

π
2
,AB=AC=AA1=1,D和E分别为棱AC、AB上的动点(不包括端点),

∴分别以AB,AC,AA1为x轴,y轴,z轴,作空间直角坐标系,

则B1(1,0,1),C1(0,1,1),

设E(t1,0,0),D(0,t2,0),t1,t2∈(0,1),

C1E
=(t1,-1,-1),
B1D
=(-1,t2,-1)

∵C1E⊥B1D,

∴-t1-t2+1=0,

即t1+t2=1.

DE
=(t1,-t2,0),

|

DE
| =
t12+t22

=

t12+(1-t1)2

=

2(t1-
1
2
)
2
+
1
2

∵0<t1<1,

∴当t1=

1
2
时,|
DE
|
min
=
1
2
=
2
2

lim
t→1
|
DE
| =
lim
t→1
2(t1
1
2
)2 +
1
2
=1.

∴线段DE长度的取值范围为[

2
2
,1).

故选C.

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