问题
解答题
已知数列{an}满足a1=a，an+1=
（Ⅰ）依次计算a2，a3，a4，a5； （Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法进行证明． |
答案
（I）分别令n=1，2，3，4，得：
a2=
，a3=1 2-a
=1 2-a 2
=1 2- 1 2-a
，2-a 3-2a
a4=
=1 2-a 3
=1 2- 2-a 3-2a 3-2a 4-3a
a5=
=1 2-a 4
=1 2- 3-2a 4-3a
．4-3a 5-4a
（II）由此，猜想 an=(n-1)-(n-2)a n-(n-1)a
下面用数学归纳法证明此结论正确．
证明：（1）当n=1时，显然结论成立
（2）假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即 ak=(k-1)-(k-2)a k-(k-1)a
那么ak+1=
=1 2-a k
=1 2- k-1-(k-2)a k-(k-1)a
，k-(k-1)a k+1-ka
也就是说，当n=k+1时结论成立．
根据（1）和（2）可知，结论对任意正整数n都成立，即 an=(n-1)-(n-2)a n-(n-1)a