问题
解答题
函数数列{fn（x）}满足：f1(x)=
（1）求f2（x），f3（x）； （2）猜想fn（x）的表达式，并证明你的结论． |
答案
（1）f2(x)=f1(f1(x))=
=f1(x) 1+
(x)f 21
f3(x)=f1(f2(x))=x 1+2x2
=f2(x) 1+
(x)f 22 x 1+3x2
（2）猜想：fn(x)=
(n∈N*)x 1+nx2
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，f1(x)=
2，已知，显然成立x 1+x2
②假设当n=K（K∈N*）4时，猜想成立，即fk(x)=x 1+kx2
则当n=K+1时，fk+1(x)=f1(fk(x))=
=fk(x) 1+
(x)f 2k
=x 1+kx2 1+(
)2x 1+kx2 x 1+(k+1)x2
即对n=K+1时，猜想也成立．
结合①②可知：猜想fn(x)=
对一切n∈N*都成立．x 1+nx2