问题
解答题
对于给定首项x0＞
（1）取x0=5，a=100，计算x1，x2，x3的值（精确到0.01）；归纳出xn，xn+1，的大小关系； （2）当n≥1时，证明：xn-xn+1＜
（3）当x0∈[5，10]时，用数列{xn}计算
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答案
（1）∵x0=5，a=100，xn+1=
（xn+1 2
）a xn
∴x1=
（5+1 2
）≈4.74100 5
同理可得x2≈4.67，x3≈4.65
猜想xn＞xn+1；
（2）证明：xn-xn+1-
（xn-1-xn）=xn-1 2 1 2
-a xn
xn-1=1 2
•a 2
-xn xn-1 xn-1xn
∵xn＞
；3 a
∴xn-xn+1=
(xn-1 2
)=a xn
•1 2
＞0
-xn3 a xn
∴xn＞xn+1
∴xn-xn+1＜
(xn-1-xn)；1 2
（3）由（2）知0＜xn-xn+1＜
(xn-1-xn)＜…＜1 2
(x0-x1)1 2n
由题意，只要
(x0-x1)＜10-4，即2n＞104（x0-x1）1 2n
∵x0-x1=
(x0-1 2
)10 x0
∴n＞log2(104•
)=15.110- 10 2
∴n=16．