（1）设抛物线的顶点Q的坐标是（x，y），

则x=-

-2(m+1)

2

=m+1，y=

-4(m+3)-[-2(m+1)]2

4

=-m²-3m-4；

∵点Q（m+1，-m²-3m-4）在直线y=-2x-2上，

∴-m²-3m-4=-2（m+1）-2，

解得m₁=0，m₂=-1；

∵m是非负数，舍去m₂=-1，

∴m=0；

∵抛物线解析式为y=x²-2x-3，令y=0，

∴得x²-2x-3=0，

解得x₁=-1，x₂=3，

∴A（-1，0），B（3，0），Q（1，-4）；

（2）如图，∵抛物线的对称轴是直线x=1，

∴P点在对称轴上，

∴PQ=|1-（-4）|=5；

把A（-1，0）代入y=-2x-2，-2x（-1）-2=0成立，

∴A点在直线y=-2x-2上；

设PQ交x轴于点D，则PQ⊥AB；

在Rt△ADQ中，AQ²=AD²+QD²=20，

在Rt△APD中，AP²=AD²+PD²=5，

∴AQ²+AP²=20+5=25=PQ²；

∴△PAQ是直角三角形，∠PAQ=90°；

∴PA⊥AQ，

∴PA和直线y=-2x-2垂直；

（3）答：∠AMB=∠BAQ；

解法一：

M（x，1）在抛物线y=x²-2x-3上，

∴1=x²-2x-3，

解得x=1±

5

，

∴点M的坐标为（1+

5

，1），PM=|1+

5

-1|=

5

，

∴PA=PM=PB=

5

；

于是点A、M、B都在以点P为圆心，

5

为半径的圆上，如图，

∵AQ⊥AP，

∴AQ是⊙P的切线，

∴∠BAQ=∠AMB；

当x=1-

5

时，点M的坐标为（1-

5

，1）；

同理可得∠BAQ=∠AMB．（15分）

解法二；当x=1+

5

时，作ME⊥x轴于点E，如图，则点E的坐标为（1+

5

，0）；

于是ME=1，EA=1+

5

+1=2+

5

，

AM=

ME2+EA2

=

12+(2+ 5 )2

=

10+4 5

，

连接BM，作BF⊥AM于F，AB=|3-（-1）|=4，

则S_△ABM=

1

2

ME•AB=

1

2

AM•BF

∴1×4=

10+4 5

•BF

∴BF=

4

10+4 5

在△MBE中，∠MEB=90°，

BM=

BE2+ME2

=

(1+ 5 -3)2+12

=

10-4 5

在△BFM中，∠BFM=90°，

sin∠BMF=

BF

BM

=

4 10+4 5

10-4 5

=

4

10-4 5 • 10+4 5

=

2

5

在△DAQ中，∠ADQ=90°，

∵sin∠DAQ=

DQ

AQ

=

2

5

，

∴sin∠BMF=sin∠DAQ

而∠BMF、∠DAQ都是锐角，

∴∠BMF=∠DAQ，即∠AMB=∠BAQ；

当x=1-

5

时，同解法一．