（1）f'（x）=3ax²+2bx-3，依题意，f'（1）=f'（-1）=0，

即

∴f（x）=x³-3x．（4分）

（2）f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），

∵曲线方程为y=x³-3x，

∴点A（1，m）不在曲线上．

设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足y₀=x₀³-3x₀．

∵f'（x₀）=3（x₀²-1），

∴切线的斜率为3(

整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．（8分）

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，

∴关于x₀方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三个实根．

设g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3，

则g'（x₀）=6x₀²-6x₀，

由g'（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．（12分）

∴函数g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3的极值点为x₀=0，x₀=1．

∴关于x₀方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三个实根的充要条件是g（1）g（0）＜0，

即（m+3）（m+2）＜0，解得-3＜m＜-2．

故所求的实数a的取值范围是-3＜m＜-2．