（1）求导函数，可得f′（x）=3ax²+2bx-a²，

∵x₁=-1，x₂=2是函数f（x）的两个极值点，

∴f'（-1）=0，f'（2）=0，

∴3a-2b-a²=0，12a+4b-a²=0，

解得a=6，b=-9．

∴f（x）=6x³-9x²-36x．-------------------（4分）

（2）∵x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，∴f'（x₁）=f'（x₂）=0．

∴x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的两根，故有△=4b²+12a³＞0对一切a＞0，b∈R恒成立．

∴x1+x2=-

2b

3a

，x1•x2=-

a

3

，

∵a＞0，∴x₁•x₂＜0，

∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=

(- 2b 3a )2-4(- a 3 )

=

4b2 9a2 + 4 3 a

-------------------（6分）

由|x1|+|x2|=2

2

得

4b2 9a2 + 4 3 a

=2

2

，

∴b²=3a²（6-a）．

∵b²≥0，∴3a²（6-a）≥0，∴0＜a≤6．

令h（a）=3a²（6-a），则h′（a）=36a-9a²．

当0＜a＜4时，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）内是增函数；

当4＜a＜6时，h′（a）＜0，∴h（a）在（0，4）内是减函数；

∴当a=4时，h（a）是极大值为96，

∴h（a）在（0，6）上的最大值是96，∴b的最大值是4

6

．…（8分）

（3）∵x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的两根．∴f'（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）

∵x1•x2=-

a

3

，x2=a，∴x1=-

1

3

∴|g(x)|=|3a(x+

1

3

)(x-a)-a(x+

1

3

)|=|a(x+

1

3

)[3(x-a)-1]|…（10分）

∵x₁＜x＜x₂，

∴g(x)=a(x+

1

3

)(-3x+3a+1)═-3a(x+

1

3

)(x-

3a+1

3

)

=-3a(x-

a

2

)2+

3a3

4

+a2+

1

3

a≤

3a3

4

+a2+

1

3

a=

a(3a+2)2

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