问题 解答题
设x1,x2(x1≠x2)是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点.
(1)若x1=-1,x2=2,求函数f(x)的解析式;
(2)若|x1|+|x2|=2
2
,求b的最大值.
(3)若x1<x<x2,且x2=a,g(x)=f'(x)-a(x-x1),求证:|g(x)|≤
a(3a+2)2
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答案

(1)求导函数,可得f′(x)=3ax2+2bx-a2

∵x1=-1,x2=2是函数f(x)的两个极值点,

∴f'(-1)=0,f'(2)=0,

∴3a-2b-a2=0,12a+4b-a2=0,

解得a=6,b=-9.

∴f(x)=6x3-9x2-36x.-------------------(4分)

(2)∵x1,x2是函数f(x)的两个极值点,∴f'(x1)=f'(x2)=0.

∴x1,x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根,故有△=4b2+12a3>0对一切a>0,b∈R恒成立.

x1+x2=-

2b
3a
x1x2=-
a
3

∵a>0,∴x1•x2<0,

|x1|+|x2|=|x1-x2|=

(-
2b
3a
)
2
-4(-
a
3
)
=
4b2
9a2
+
4
3
a
-------------------(6分)

|x1|+|x2|=2

2
4b2
9a2
+
4
3
a
=2
2

∴b2=3a2(6-a).

∵b2≥0,∴3a2(6-a)≥0,∴0<a≤6.

令h(a)=3a2(6-a),则h′(a)=36a-9a2

当0<a<4时,h′(a)>0,∴h(a)在(0,4)内是增函数;

当4<a<6时,h′(a)<0,∴h(a)在(0,4)内是减函数;

∴当a=4时,h(a)是极大值为96,

∴h(a)在(0,6)上的最大值是96,∴b的最大值是4

6
.…(8分)

(3)∵x1,x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根.∴f'(x)=3a(x-x1)(x-x2

x1x2=-

a
3
x2=a,∴x1=-
1
3

|g(x)|=|3a(x+

1
3
)(x-a)-a(x+
1
3
)|=|a(x+
1
3
)[3(x-a)-1]|…(10分)

∵x1<x<x2

g(x)=a(x+

1
3
)(-3x+3a+1)═-3a(x+
1
3
)(x-
3a+1
3
)

=-3a(x-

a
2
)2+
3a3
4
+a2+
1
3
a
3a3
4
+a2+
1
3
a=
a(3a+2)2
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阅读理解与欣赏

 阅读下面的文字,完成小题。

也谈油画的本土化问题

我国引进西洋油画已有百年历史,油画“民族化”一直是主导我国油画发展的重要观念。

长期以来,我们一直认为油画只是一种技术、一种手艺;对其深层的民族特性,包括孕育、生长油画的文化环境,历史、人性方面和东方民族迥异的种种特点,均认识不足。

20世纪早期,许多中国人还不懂得油画的立体、空间、明暗、色彩等观念,对“阴阳脸”接受不了,因为这些和我们的线型观念是抵触的。没有光线概念就没有立体概念,更不能掌握油画的色彩概念。那么,这里就有一个入门的问题。毕竟,油画是和中国画全然不同的画种,不仅材质迥异,更主要的还是观念的差异。

对于油画这个外来画种,仅是技术这个低级层面就有不少难题。油画教育的早期阶段,注重规范打基础是必要的。中国人不缺少聪明,也不乏精工细致的能力。只要受到训练,掌握观察方法、表现方法,并参照他们的感官视觉审美,那么,中国人应该一样能画油画。

中国的油画是继续向西方学习呢,还是走出西方,自立门户?向西方学习的理由是存在的:源于西方油画艺术体系的材质、技法、价值评定标准的规律性,决定画家个体应该在相当时段,进行全然不同于中国画规律的训练学习和观摩领悟,以期掌握油画技法,尤其是格调品位的要领。有这个学习过程与否,结果是大不一样的。当然,决定艺术品位高低的因素是多方面的,这里不遑多论。

油画这个号称“架上”的艺术,今天在竞相追求时尚的西方艺术界,明显的式微了。西方有人觉得架上艺术“死亡”了,中国人说:哪有这回事?“人弃我取”,反倒画得更欢了。我想,宽松的意识形态环境和迅速积累的社会财富,为中国油画的发展提供了新的机会和广阔天地;但是,市场经济条件下,道路也不会笔直平坦。

油画的 “民族化”命题,谈论已多年,未得结论。因为油画“民族化”不只决定于画家本人个性、学养、训练、品格追求等主观方面因素,更有客观时代、环境、际遇等复杂因素的影响,很难定论何种式样风格属于“民族”的成功标准。即便如董希文的《开国大典》、吴作人的《齐白石像》这样大家公认的成功之作,在画家生前身后也注定只能是“孤本”而难以模仿。

当年“民族化”命题的提出,反映了一种使命感,一种要为广大群众所理解、服务的精神,一种担当态度,可是当下具此心态的画家有多少?而要达到“民族化”更要求画家具备民族文化的广泛、深度的修养、理解和情感,但今天许多画家的情况和吴作人、常书鸿、艾中信一辈的画家们相较已大不相同。此外,“民族化”基本上是一个学术命题,需要以公认的作品来回答的命题,因此就需要一个相对稳定、宽裕、有利于学术探讨的社会条件、学术环境,更需要画家有一个远离浮躁、沉潜艺术、安于寂寞的心态。

(选自2010年3月8日《光明日报》,有删改)

小题1:下列选项中关于“西洋油画”的说明,不正确的一项是

A.“西洋油画”不只是一种技术、一种手艺,而且是有着深层的民族特性的艺术。

B.“西洋油画”讲究立体、空间、明暗、色彩等观念,与中国油画迥然不同。

C.“西洋油画”的材质、技法、价值评定标准决定了油画的学习不是个简单的过程。

D.在今天竞相追求时尚的西方艺术界,有的人认为“西洋油画”已失去生命力了。小题2:下列关于油画“民族化”的理解,不正确的一项是

A.现在中国油画的发展有了新机会和广阔天地,但“民族化”的道路不会平坦。

B.油画“民族化”虽然一直影响着我国油画的发展,但迄今未形成统一的成功标准。

C.当年油画“民族化”的提出,折射出那个时代画家的使命感和担当态度。

D.作为学术问题的油画“民族化”,只能从公认的好作品中寻找真正的答案。小题3:下列表述不符合原文意思的一项是

A.20世纪早期,中国人因为传统的线型观念的影响,不懂得西方油画。

B.中国人凭借聪明才智和正规训练,可以和西方人一样画油画。

C.现在的市场经济条件下,画家静心创作出油画佳作不是件容易的事。

D.董希文的《开国大典》等作品,说明我国画家有能力创作出油画成功之作。

填空题