已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值,且过原点,曲线y=f(x)在P(-1,2)处的切线l的斜率是-3
(1)求f(x)的解析式;
(2)若y=f(x)在区间[2m-1,m+1]上是增函数,数m的取值范围;
(3)若对任意x1,x2∈[-1,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,求m的最小值.
(1)∵曲线y=f(x)过原点,∴d=0.
由f(x)=ax3+bx2+cx+d,得:f'(x)=3ax2+2bx+c,
又x=0是f(x)的极值点,∴f'(0)=0,∴c=0,
∵过点P(-1,2)的切线l的斜率为f'(-1)=3a-2b,
由
,得:f(-1)=2 f′(-1)=-3
,解得:-a+b=2 3a-2b=-3
.a=1 b=3
故f(x)=x3+3x2;
(2)f'(x)=3x2+6x=3x(x+2),
令f'(x)>0,即x(x+2)>0,∴x>0或x<-2
∴f(x)的增区间为(-∞,-2]和[0,+∞).
∵f(x)在区间[2m-1,m+1]上是增函数,∴[2m-1,m+1]⊆(-∞,-2]或[2m-1,m+1]⊆[0,+∞);
∴
或m+1≤-2 2m-1<m+1
.2m-1≥0 2m-1<m+1
解得:m≤-3或
≤m<2;1 2
(3)由(2)知,函数f(x)在[-1,0]上为减函数,在(0,1]上为增函数.
∵f(0)=0,f(-1)=2,f(1)=4,∴f(x)在区间[-1,1]上的最大值M为4,最小值N为0,
故对任意x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤M-N=4-0=4,
要使对任意x1,x2∈[-1,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,则m≥4.
所以,m最小值为4.