问题 解答题

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值,且过原点,曲线y=f(x)在P(-1,2)处的切线l的斜率是-3

(1)求f(x)的解析式;

(2)若y=f(x)在区间[2m-1,m+1]上是增函数,数m的取值范围;

(3)若对任意x1,x2∈[-1,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,求m的最小值.

答案

(1)∵曲线y=f(x)过原点,∴d=0.

由f(x)=ax3+bx2+cx+d,得:f'(x)=3ax2+2bx+c,

又x=0是f(x)的极值点,∴f'(0)=0,∴c=0,

∵过点P(-1,2)的切线l的斜率为f'(-1)=3a-2b,

f(-1)=2
f(-1)=-3
,得:
-a+b=2
3a-2b=-3
,解得:
a=1
b=3

故f(x)=x3+3x2

(2)f'(x)=3x2+6x=3x(x+2),

令f'(x)>0,即x(x+2)>0,∴x>0或x<-2

∴f(x)的增区间为(-∞,-2]和[0,+∞).

∵f(x)在区间[2m-1,m+1]上是增函数,∴[2m-1,m+1]⊆(-∞,-2]或[2m-1,m+1]⊆[0,+∞);   

m+1≤-2
2m-1<m+1
2m-1≥0
2m-1<m+1

解得:m≤-3或

1
2
≤m<2;

(3)由(2)知,函数f(x)在[-1,0]上为减函数,在(0,1]上为增函数.

∵f(0)=0,f(-1)=2,f(1)=4,∴f(x)在区间[-1,1]上的最大值M为4,最小值N为0,

故对任意x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤M-N=4-0=4,

要使对任意x1,x2∈[-1,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,则m≥4.

所以,m最小值为4.

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