（Ⅰ）已知函数f(x)=

ax

x2+b

，∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．（2分）

又函数f（x）在x=1处取得极值2，

∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

⇒

a=4 b=1

∴f(x)=

4x

x2+1

．（4分）

（Ⅱ）∵f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4-4x2

(x2+1)2

．

由f′（x）＞0，得4-4x²＞0，即-1＜x＜1，

所以f(x)=

4x

x2+1

的单调增区间为（-1，1）．（6分）

因函数f（x）在（m，2m+1）上单调递增，则有

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

解得-1＜m≤0，

即m∈（-1，0]时，函数f（x）在（m，2m+1）上为增函数．（9分）

（Ⅲ）∵f′(x)=

4-4x2

(x2+1)2

，

∴直线l的斜率为k=f′(x0)=

4-4x02

(x02+1)2

=4[

2

(x02+1)2

-

1

x02+1

]（11分）

令

1

x02+1

=t，t∈(0，1)，则直线l的斜率k=4（2t²-t）（t∈（0，1）

∴k∈[-

1

2

，4]，即直线l的斜率k的取值范围是[-

1

2

，4]（14分）

[或者由k=f（x₀）转化为关于x₀²的方程，根据该方程有非负根求解]．