（1）∵存在 x∈[-1，1]，令t=2x∈[

1

2

，2]，即t+

a

t

＞2成立． （1分）

∴a＞-t²+2t．由于函数y=-t²+2t的最小值为0，此时，t=2，（4分）

∴a＞0，即实数a的取值范围为（0，+∞）．（5分）

（2）不等式f（2x）+（a-1）f（x）＞a，即 2^2x+（a-1）x＞a．

令t=2^x∈（0，+∞），不等式即（t-1）（t+a）＞0．（6分）

①当-a=1，即a=-1，可得t＞0且t≠1，∴x≠0．（7分）

②当-a＞1，即a＜-1，可得t＞-a，或0＜t＜1，∴x＞log₂（-a），或x＜0．（8分）

③当-a＜1，即 a＞-1，可得t＜-a，或t＞1．

若-a≤0，即a≥0，由不等式可得t＞1，∴x＞0．（9分）

若0＜-a＜1，即-1＜a＜0，由不等式可得0＜t＜-a，或t＞1，

∴x＜log₂（-a），或x＞0．（10分）

综上，当a=-1时，不等式的解集为{x|x≠0}；

当a＜-1时，不等式的解集为{x|x＞log₂（-a），或x＜0  }；

当 a≥0时，不等式的解集为{x|x＞0}；

当-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜log₂（-a），或x＞0}．（11分）

（3）令a=2x1，b=2x2，c=2x3，则a+b=ab，a+b+c=abc，（a，b，c＞0）．

由ab=a+b≥2

ab

⇒ab≥4．（13分）

c=

a+b

ab-1

=

ab

ab-1

=1+

1

ab-1

≤1+

1

3

=

4

3

（15分）

∴2x3≤

4

3

，故x₃的最大值为log2

4

3

．（16分）