已知f(x+1)=f(x-1),f(x)=f(-x+2),方程f(x)=0在[0,1]内有且只有一个根x=
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∵f(x)=f(-x+2),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,即f(1-x)=f(1+x).
又f(x+1)=f(x-1),∴f(x-1)=f(1-x),即f(x)=f(-x),故函数f(x)为偶函数.
再由f(x+1)=f(x-1),令x+1=t,则有f(t)=f(t+2),
从而可得f(x+2)=f(x),故函数f(x)是周期等于2的周期函数.
由于f(
)=0,∴f(-1 2
)=0,1 2
∴f(
)=f(2-3 2
)=f(3 2
)=0,1 2
故函数f(x)在一个周期[0,2]上有2个零点,且函数f(x)在每两个整数之间都有一个零点,
f(x)=0在区间[-1005,1006]内根的个数为2011,
故选C.