问题 选择题
已知f(x+1)=f(x-1),f(x)=f(-x+2),方程f(x)=0在[0,1]内有且只有一个根x=
1
2
,则f(x)=0在区间[-1005,1006]内根的个数为(  )
A.2013B.1006C.2011D.1007
答案

∵f(x)=f(-x+2),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,即f(1-x)=f(1+x).

又f(x+1)=f(x-1),∴f(x-1)=f(1-x),即f(x)=f(-x),故函数f(x)为偶函数.

再由f(x+1)=f(x-1),令x+1=t,则有f(t)=f(t+2),

从而可得f(x+2)=f(x),故函数f(x)是周期等于2的周期函数.

由于f(

1
2
)=0,∴f(-
1
2
)=0,

∴f(

3
2
)=f(2-
3
2
)=f(
1
2
)=0,

故函数f(x)在一个周期[0,2]上有2个零点,且函数f(x)在每两个整数之间都有一个零点,

f(x)=0在区间[-1005,1006]内根的个数为2011,

故选C.

单项选择题
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