问题
解答题
已知函数f（x）=16ln（1+x）+x2-10x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．
答案
（1）f（x）=16ln（1+x）+x2-10x，x∈（-1，+∞）
f′(x)=
+2x-10=16 1+x
=2x2-8x+6 x+1 2(x-1)(x-3) x+1
令f'（x）=0，得x=1，x=3．f'（x）和f（x）随x的变化情况如下：
| x | （-1，1） | 1 | （1，3） | 3 | （3，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
f（x）的增区间是（-1，1），（3，+∞）；减区间是（1，3）．
（2）由（1）知，f（x）在（-1，1）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减．
∴f（x）极大=f（1）=16ln2-9，f（x）极小=f（3）=32ln2-21．
又x→-1+时，f（x）→-∞；x→+∞时，f（x）→+∞；
可据此画出函数y=f（x）的草图（如图），由图可知，
当直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点时，
当且仅当f（3）＜b＜f（1），
故b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）