（1）由函数 f(x)=ln(2ax+1)+

x3

3

-x2-2ax

得：f′(x)=

2a

2ax+1

+x2-2x-2a

=

2a+2ax3+x2-4ax2-2x-4a2x-2a

2ax+1

=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

．

因为x=2为f（x）的极值点，所以f^′（2）=0．

即

2a

4a+1

-2a=0，解得：a=0．

又当a=0时，f^′（x）=x（x-2），从而x=2为f（x）的极值点成立．

（2）由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a≥0，

由于f′(x)=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

，

所以，令g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）．

则g（x）＞0与g（x）＜0在区间[3，+∞）上都有解，

由a≥0知，g（x）＞0一定有解，又g（x）的对称轴为x=1-

1

4a

＜1，

因此只要g（3）＜0即说明g（x）＜0在区间[3，+∞）上都有解，

由g（3）＜0得，4a²-6a-1＞0，解得：a＜

3- 13

4

或a＞

3+ 13

4

．

因为a≥0，所以a＞

3+ 13

4

．

综上所述，a的取值范围是（

3+ 13

4

，+∞）．

（3）若a=-

1

2

时，方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+

b

x

可化为：lnx-(1-x)2+(1-x)=

b

x

．

问题转化为b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，

即求函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域．

因为g（x）=x（lnx+x-x²），令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），

则h′(x)=

1

x

+1-2x=

(2x+1)(1-x)

x

，

当0＜x＜1时，h^′（x）＞0，h（x）在（0，1）上为增函数，

当x＞1时，h^′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，

因此h（x）≤h（1）=0．

而x＞0，故b=x•h（x）≤0，

因此，当x=1时，b取得最大值0．

所以，当a=-

1

2

时，使方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+

b

x

有实根的b的最大值为0．