问题
解答题
| 设f（x）=logag（x）（a＞0且a≠1） （1）若f(x)=log
（2）若g（x）=ax2-x，是否存在a使得f（x）在区间[
（3）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：p=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=q 将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得不等式|m（x1）-m（x0）|+|m（x2）-m（x1）|+…+|m（xi）-m（xi-1）|+…+|m（xn）-m（xn-1）|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数．试判断函数f（x）=log4(4x2-x)是否为在[
|
答案
（1）f(x)=log
(3x-1)＞1⇔log1 2
(3x-1)＞log1 2 1 2
⇔1 2
．3x-1＜ 1 2 3x-1＞0
解得
＜x＜1 3
．1 2
（2）当a＞1时，
⇒a＞2．
≤1 2a 1 2 g(
)=1 2
a-1 4
＞01 2
当0＜a＜1时，
⇒
≥31 2a g(3)=9a-3＞0
，无解．a≤ 1 6 a＞ 1 3
综上所述，a＞2．
（3）函数f（x）=log4(4x2-x)为[
，3]上的有界变差函数．1 2
由（2）知当a=4时函数f（x）为[
，3]上的单调递增函数，且对任意划分T：1 2
=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=3，有f(1 2
)=f(x0)＜f(x1)＜…＜f(xn-1)＜f(xn)=f(3)，1 2
所以
|f(xi)-f(xi-1)|=f(x1)-f(x0)+f(x2)-f(x1)+…+f(xn)-f(xn-1)=f(xn)-f(x0)=f(3)-f(n 
i=1
)=log433-log41 2
=log466，1 2
∴存在常数M≥log466，使得
|f(xi)-f(xi-1)|≤M恒成立，n i=1
∴M的最小值为log466．