问题 问答题

已知α1=(1,4,0,2)T,α2=(2,7,1,3)T,α3=(0,1,-1,a)T,β=(3,10,b,4)T.问:
(1) a,b取何值时,β不能由α1,α2,α3线性表示
(2) a,b取何值时,β可由α1,α2,α3线性表示并写出此表示式。

答案

参考答案:向量β能否由α1,α2,α3线性表示,实质上等价于下述方程组有解或无解的问题:Ax=β,其中
[*]
从而
[*]
相应的增广矩阵为
[*]
利用初等行变换,将B化为阶梯形如下
[*]
(1) 当b≠2时,r(A)<r(B),此时方程组Ax=β无解,即β不能由α1,α2,α3线性表示.
(2) 当b=2,a≠1时,r(A)=r(B)且r(A)=3,此时方程组Ax=β有唯一解,且相应的行简化阶梯形为
[*]
因此该唯一解为x=[*]因此β可由α1,α2,α3唯一表示为β=-α1+2α2
当b=2,a=1时,r(A)=r(B)且r(A)=2<3,此时方程组Ax=β有无穷解,相应的行简化阶梯形为
[*]
其导出组的基础解系为(-3,3,1)T,原方程组特解为(-1,2,0)T,则通解为
C(-3,3,1)T+(-1,2,0)T
其中C为任意常数.此时β可由α1,α2,α3表示为
β=-(3C+1)α1+(3C+2)α2+cα3

解析:[考点提示] 线性代数方程组解的性质.

判断题
填空题