问题
解答题
| 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞， 即：当n为非负整数时，如果n-
如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，… 试解决下列问题： （1）填空：①＜π＞=______（π为圆周率）； ②如果＜2x-1＞=3，则实数x的取值范围为______； （2）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞=m+＜x＞； ②举例说明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立； （3）求满足＜x＞=
（4）设n为常数，且为正整数，函数y=x2-x+
|
答案
（1）①3；
②由题意得：2.5≤2x-1＜3.5，解得：
≤x＜7 4
；9 4
（2）①证明：设＜x＞=n，则n-
≤x＜n+1 2
，n为非负整数；1 2
∴(n+m)-
≤x+m＜(n+m)+1 2
，且n+m为非负整数，1 2
∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞．
②举反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，
∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，
∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；
（3）∵x≥0，
x为整数，设4 3
x=k，k为整数，4 3
则x=
k，3 4
∴＜
k＞=k，3 4
∴k-
≤1 2
k＜k+3 4
，k≥0，1 2
∵O≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0，
，3 4
．3 2
（4）∵函数y=x2-x+
=(x-1 4
)2，n为整数，1 2
当n≤x＜n+1时，y随x的增大而增大，
∴(n-
)2≤y＜(n+1-1 2
)2，即(n-1 2
)2≤y＜(n+1 2
)2，①1 2
∴n2-n+
≤y＜n2+n+1 4
，∵y为整数，1 4
∴y=n2-n+1，n2-n+2，n2-n+3，…，n2-n+2n，共2n个y，
∴a=2n，②
∵k＞0，＜
＞=n，k
则n-
≤1 2
＜n+k
，∴(n-1 2
)2≤k＜(n+1 2
)2，③1 2
比较①，②，③得：a=b=2n．