（Ⅰ）试比较2，33，55的大小；（Ⅱ）试比较nn+1与（n+1）n（n∈N+）

问题解答题

（Ⅰ）试比较

，

3	3

，

5	5

的大小；
（Ⅱ）试比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ（n∈N₊）的大小，根据（Ⅰ）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．

答案

（Ⅰ）由于(

)6=8，(

3	3

)6=9，则

3	3

＞

又(

)10=32，(

5	5

)10=25，则

＞

5	5

所以

3	3

＞

5	5

（Ⅱ）猜想：当n=1，2时，有nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n≥3时，有nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

证明如下：①当n=1时，不等式可化为：1＜2，显然成立

当n=2时，不等式可化为：2³＜3²，显然成立

②当n≥3时

设an=

nn+1

(n+1)n

(n≥3，n∈N+)，a3=

＞1

又

an+1

(n+1)n+2(n+1)n

(n+2)n+1nn+1

(n+1)2

(n+2)n

]n+1=[

(n+2)n+1

(n+2)n

]n+1＞1

∴a_n+1＞a_n，即数列{a_n}是一个单调递增数列

则a_n＞a_n-1＞…＞a₃＞1

∴

nn+1

(n+1)n

＞1即nⁿ⁺¹＞（n+1）^{n
综上所述，当n=1、2时，有nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ
当n≥3时，n^n+!＞（n+1）ⁿ}