已知an=log（n+1）（n+2），把能够使乘积a1a2a3…an是整数的数字

问题选择题

已知a_n=log_（n+1）（n+2），把能够使乘积a₁a₂a₃…a_n是整数的数字n称为完美数，则在区间（1，2010）内所有的完美数的和为（　　）

A．1024

B．2003

C．2026

D．2048

答案

∵a₁a₂a₃…a_n=log₂3×log₃4×…×log_（n+1）（n+2）=log₂（n+2），

当n+2=2^m（m∈N₊），即n=2^m-2，m∈N₊时，n称为完美数，

在区间（1，2010）内的完美数为2²-2，2³-2，2⁴-2，…，2ⁿ-2，当2ⁿ-2≤2010时，n≤10．

∴在区间（1，2010）内所有的完美数的和S=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）

=（2²+2³+2⁴+…2¹⁰）-18

22×(1-29)

1-2

-18=2026，

故选C．