问题
解答题
已知函数f（x）=a•2x-1+2-x（a为常数，x∈R）为偶函数．
（1）求a的值；并用定义证明f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（2）解不等式：f（2logax-1）＞f（logax+1）．
答案
（1）f（x）为偶函数，所以f（1）=f（-1），
即：a+
=1 2
a+2，解得：a=21 4
证明：设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2
∴f（x1）-f（x2）=2x1+2-x1-2x2-2-x2=(2x1-2x2)(1-
)1 2x1+x2
∵x1＜x2，∴2x1-2x2＜0
∵x1，x2∈[0，+∞），∴1-
＞01 2x1+x2
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）=2x+2-x在[0，+∞）上单调递增．
（2）f（x）为偶函数，a=2，
不等式f（2logax-1）＞f（logax+1）
变为f（|2log2x-1|）＞f（|log2x+1|），
由于f（x）=2x+2-x在[0，+∞）上单调递增，
所以|2log2x-1|＞|log2x+1|，
两边平方，得：log22x-2log2x＞0，
∴log2x＜0，或log2x＞2
∴0＜x＜1，或x＞4