设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）

问题填空题

设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂^x]=6，若x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，且x₀∈（a，a+1）（a∈N^*），则a=______．

答案

根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，

又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，

则f（x）-log₂x为定值，

设t=f（x）-log₂x，则f（x）=t+log₂x，

又由f（t）=6，可得t+log₂t=6，

可解得t=4，故f（x）=4+log₂x，f′（x）=

xln2

，

又x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，

所以x₀是函数F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-

xln2

的零点，

分析易得F（1）=-

ln2

＜0，F（2）=1-

2ln2

=1-

ln4

＞0，

故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，

故答案为：1