已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=a，an+1=Sn+3n，（1）若bn

问题解答题

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，

（1）若b_n=S_n-3ⁿ，求{b_n}的通项公式；

（2）若a_n+1≥a_n恒成立，求a取值范围．

答案

（1）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，∴S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ，

∴S_n+1=2S_n+3ⁿ，∴S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）

即b_n+1=2b_n，b₁=S₁-3=a-3，

∴b_n=（a-3）•2^n-1，

（2）由（1）可得，S_n-3ⁿ=（a-3）•2^n-1．n≥2

a_n=2•3^n-1+（a-3）•2^n-2，a_n+1-a_n=2（3ⁿ-3^n-1）+（a-3）（2^n-1-2^n-2）

=4•3^n-1+（a-3）•2^n-2≥0

a-3≥-

4•3n-1

2n-2

=-8•(

)n-1

当n≥2时，-8•(

)n-1≤-8•

=-12，∴a-3≥-12，a≥-9

而a₂-a₁=6+（a-3）-a=3＞0，∴a≥-9时，a_n+1≥a_n恒成立．