问题
解答题
| 已知集合{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中最大的数与后一个集合中最小的数是连续奇数． （I）求第n个集合中最小的数an的表达式； （Ⅱ）设bn=
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答案
解（ I）设第n个集合中最小的数为an，则第n-1个集合中最小的数为an-1．
又第n-1个集合中共有n-1个数，且依次增加2，
∴an-1+2（n-1）=an，即an-an-1=2（n-1）（n≥2）…4分
∴an-1-an-2=2（n-2），
an-2-an-3=2（n-3）…
a2-a1=2．
以上各式相加得an-a1=2×
=n2-n，(n-1)(1+n-1) 2
又a1=1，
∴an=n2-n+1（n≥2）…6分
验证n=1时a1适合上式
∴an=n2-n+1…7分
（ II）∵an=n2-n+1，
∴bn=
=an-1 n
=n-1…8分n2-n+1-1 n
∴Tn=
+0 20
+1 21
+…+2 22
=n-1 2n-1
+1 21
+…+2 22
①n-1 2n-1
又
Tn=1 2
+1 22
+2 23
+…+3 24
+n-2 2n-1
②n-1 2n
①-②得，
Tn=1 2
+1 21
+1 22
+…+1 23
-1 2n-1 n-1 2n
∴Tn=2×
-
(1-1 2
)1 2n-1 1- 1 2
=2-n-1 2n-1
-1 2n-2 n-1 2n-1
即Tn=2-
-1 2n-2
…12分n-1 2n-1