数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1-an，n∈N*（1

问题解答题

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且满足a_n+2=2a_n+1-a_n，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n；
（3）设bn=

n(12-an)

(n∈N*)，Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*，均有Tn＞

成立？若存在，求出m的值：若不存在，请说明理由．

答案

（1）由题意，an+2-a

•

+1=an+1-an，∴{a_n}为等差数列，设公差为d，

由题意得2=8+3d⇒d=-2，∴a_n=8-2（n-1）=10-2n

（2）若10-2n≥0则n≤5，n≤5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a1+a2+…+an=

8+10-2n

×n=9n-n2

n≥6时，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=S₅-（S_n-S₅）=2S₅-S_n=n²-9n+40

故Sn=

9n-n2	n≤5
n2-9n+40	n≥6

（3）∵bn=

n(12-an)

2n(n+1)

(

n+1

)∴Tn=

[(1-

)+(

)+…+(

n-1

)+(

n+1

)]=

2(n+1)

若Tn＞

对任意n∈N*成立，即

n+1

＞

对任意n∈N*成立，∵

n+1

(n∈N*)的最小值是

，∴

＜

，∴m的最大整数值是7．

即存在最大整数m=7，使对任意n∈N*，均有Tn＞